数値計算

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色々な離散データの離散時間フーリエ変換を計算してみる

色々な離散データの離散時間フーリエ変換をpythonで計算してみます。三角関数、インパルス、数列の変換と逆変換の図をたくさん載せてます。
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Pythonで離散時間フーリエ変換を実装

離散時間フーリエ変換の計算式はシンプルです。これをPythonで実装して計算してみます。計算は複素数を使用するので、この扱い方も含めて関数化します。
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数値積分-台形公式とシンプソンの公式の導出

数値定積分は台形公式、シンプソンの公式で計算することが出来ます。ラグランジュの補間公式からそれぞれの式を導出してPythonで計算比較を行いました。
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ラグランジュの補間公式 – データ点から数式へ –

ラグランジュの補間公式はデータをある式に当てはめることで、近似式を作成するものです。この近似式は最小二乗法とは違い、式の形はデータの点数により自動的に決定されます。実際の計算例をもとにラグランジュの補間公式の意味を考えてみましょう。
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バネ-マス系の解析解と応答波形

バネと質点で構成されたシステムの運動方程式から、自由振動解と強制振動解を求めます。運動方程式は微分方程式なので、オイラー法やルンゲクッタ法の数値計算でもその運動を計算できます。でも、数値計算が正しいかを確認するためには運動方程式の解析解が必要ですよね?解析解の応答はPythonで計算します。
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非線形最小二乗法で円のパラメータ推定

非線形最小二乗法を使って円のパラメータを求めてみましょう。最適化計算における線形、非線形とは何なのか、円の方程式 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)のパラメータ\((a,b,r)\)を非線形最小二乗法で求めるとは何なのかといったことを考えながら進めてみます。ちなみに、収束計算はニュートン法で行いますよ。
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最小二乗法で円のパラメータ推定

円の方程式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)のパラメータ\(a,br\)をデータ\(x,y\)から最小二乗法で求めてみます。最小二乗法を使うためには、円の方程式をちょっと変更する必要があります。その式変形も含めて最小二乗法でどのようにパラメータを求めるか見てみましょう。
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図で理解する一般逆行列

多数のデータから最適なパラメータを決定するときなど、一般逆行列を使って解を計算します。Ax=bの方程式でAが正方形の形をしていないときに用いる一般逆行列はどのような意味があるのか、図を描いてその意味を理解しましょう。
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一般的な根の計算 – ニュートン法

平方根の計算をニュートン法で行ったので、これをもう少し拡張してみます。やることは、3乗根の計算、n乗根の計算、それから方程式の解をニュートン法で求めてみます。収束計算のアニメーションもあるので、ニュートン法とは何かきっと分かると思います。
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平方根を数値計算で求める – ニュートン法

平方根をニュートン法で求めてみます。この記事でのニュートン法は最大値、最小値を求めるニュートン法ではなく、 \(y=ax + b\)のような方程式の解を求めるニュートン法です。 ちょっと混乱するかもしれませんが、しっかり理論的なところも説明します。動作のアニメーションもあるのでイメージも出来ますよ。
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