数値計算

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1階常微分方程式の数値解-オイラー法、ホイン法、ルンゲクッタ法

1階常微分方程式の解曲線を数値計算で求めてみます。解曲線とは微分方式の解\(y(x) = \phi(x)\)が表す曲線のことをいい、この曲線を勾配によって描くことで、微分方程式の解を数値計算で求めることが出来ます。オイラー法、ホイン法、ルンゲクッタ法の3つを図解しながらPythonで計算させてみます。
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バネマス系の運動をオイラー法で計算

\(dy/dx = f(x,y)\)の常微分方程式から解析的に\(y(x)\)が解ければ、どんな\(x\)における\(y(x)\)でも計算できますが、なかなかそうはいきません。運動方程式も微分方程式で表されているので、このシステムはどんな振る舞いをするの?という疑問に答えるにはやはり解析解が必要です。でもやっぱり解析解を求めることが難しいので、そんなときに役立つツールの一つが数値計算のオイラー法です。
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非線形最小二乗法で円のパラメータ推定

非線形最小二乗法を使って円のパラメータを求めてみましょう。最適化計算における線形、非線形とは何なのか、円の方程式 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)のパラメータ\((a,b,r)\)を非線形最小二乗法で求めるとは何なのかといったことを考えながら進めてみます。ちなみに、収束計算はニュートン法で行いますよ。
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最小二乗法で円のパラメータ推定

円の方程式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)のパラメータ\(a,br\)をデータ\(x,y\)から最小二乗法で求めてみます。最小二乗法を使うためには、円の方程式をちょっと変更する必要があります。その式変形も含めて最小二乗法でどのようにパラメータを求めるか見てみましょう。
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図で理解する一般逆行列

多数のデータから最適なパラメータを決定するときなど、一般逆行列を使って解を計算します。Ax=bの方程式でAが正方形の形をしていないときに用いる一般逆行列はどのような意味があるのか、図を描いてその意味を理解しましょう。
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どのようにA行列をLU行列へと分解するのか – アルゴリズム –

LU分解では、A行列をL行列とU行列へ分解することが必要です。このとき、単純に分解していてはゼロ割になっていしまうことがあり、Pivotという方法で行列を入替えながら分解していくことが求められます。なかなか複雑な方法なので、理解が難しいですがPythonコードとともにその理論と実装を説明します。
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LU分解とは何なのか – 具体的な計算で考える –

連立方程式 \(A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \) の解\( \boldsymbol{x} \)を求めるときに、逆行列を使った\( \boldsymbol{x} = A^{-1} \boldsymbol{b} \)という形以外に、\( A = LU\)と分解して解 \( \boldsymbol{x} \) を求めるLU分解があります。このように分解すると何がうれしいのでしょうか?具体的に計算してみましょう。
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図に描いて見たら分かった!テイラー展開の意味

工学の教科書には良く出てくるテイラー展開ですが、これって何を意味しているのでしょうか?どうして微分を使う近似式が元の関数になるのか、図に描いて見たらスッキリ理解できますよ!
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多変数の場合の勾配法をイメージで理解しよう

前回の1変数の勾配法を多変数の関数に適用する場合を考えます。内容は引き続き ”これなら分かる最適化数学, 金谷健一” から引用します。 多変数の勾配法の考え方 1変数の関数\(y=f(x)\)の場合、山を登るように\(x\)の...
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勾配法をイメージで理解する – 最大の数値を求める方法

数値解析で極値を求めるには、関数の増減を探索していく方法が基本です。この基本の方法として勾配法があります。この記事では勾配法のアルゴリズムをアニメーションで理解できるようにしています。勾配法を難しいと思っている方!勾配法は見ればイメージがつかめるものですよ!
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