LU分解

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数値計算

非線形最小二乗法で円のパラメータ推定

非線形最小二乗法を使って円のパラメータを求めてみましょう。最適化計算における線形、非線形とは何なのか、円の方程式 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)のパラメータ\((a,b,r)\)を非線形最小二乗法で求めるとは何なのかといったことを考えながら進めてみます。ちなみに、収束計算はニュートン法で行いますよ。
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最小二乗法で円のパラメータ推定

円の方程式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)のパラメータ\(a,br\)をデータ\(x,y\)から最小二乗法で求めてみます。最小二乗法を使うためには、円の方程式をちょっと変更する必要があります。その式変形も含めて最小二乗法でどのようにパラメータを求めるか見てみましょう。
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どのようにA行列をLU行列へと分解するのか – アルゴリズム –

LU分解では、A行列をL行列とU行列へ分解することが必要です。このとき、単純に分解していてはゼロ割になっていしまうことがあり、Pivotという方法で行列を入替えながら分解していくことが求められます。なかなか複雑な方法なので、理解が難しいですがPythonコードとともにその理論と実装を説明します。
数値計算

LU分解とは何なのか – 具体的な計算で考える –

連立方程式 \(A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \) の解\( \boldsymbol{x} \)を求めるときに、逆行列を使った\( \boldsymbol{x} = A^{-1} \boldsymbol{b} \)という形以外に、\( A = LU\)と分解して解 \( \boldsymbol{x} \) を求めるLU分解があります。このように分解すると何がうれしいのでしょうか?具体的に計算してみましょう。
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