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数値計算

図で理解する一般逆行列

多数のデータから最適なパラメータを決定するときなど、一般逆行列を使って解を計算します。Ax=bの方程式でAが正方形の形をしていないときに用いる一般逆行列はどのような意味があるのか、図を描いてその意味を理解しましょう。
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一般的な根の計算 – ニュートン法

平方根の計算をニュートン法で行ったので、これをもう少し拡張してみます。やることは、3乗根の計算、n乗根の計算、それから方程式の解をニュートン法で求めてみます。収束計算のアニメーションもあるので、ニュートン法とは何かきっと分かると思います。
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平方根を数値計算で求める – ニュートン法

平方根をニュートン法で求めてみます。この記事でのニュートン法は最大値、最小値を求めるニュートン法ではなく、 \(y=ax + b\)のような方程式の解を求めるニュートン法です。 ちょっと混乱するかもしれませんが、しっかり理論的なところも説明します。動作のアニメーションもあるのでイメージも出来ますよ。
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数値計算

どのようにA行列をLU行列へと分解するのか – アルゴリズム –

LU分解では、A行列をL行列とU行列へ分解することが必要です。このとき、単純に分解していてはゼロ割になっていしまうことがあり、Pivotという方法で行列を入替えながら分解していくことが求められます。なかなか複雑な方法なので、理解が難しいですがPythonコードとともにその理論と実装を説明します。
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LU分解とは何なのか – 具体的な計算で考える –

連立方程式 \(A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \) の解\( \boldsymbol{x} \)を求めるときに、逆行列を使った\( \boldsymbol{x} = A^{-1} \boldsymbol{b} \)という形以外に、\( A = LU\)と分解して解 \( \boldsymbol{x} \) を求めるLU分解があります。このように分解すると何がうれしいのでしょうか?具体的に計算してみましょう。
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共役勾配法 – アルゴリズムと実際の計算

”これなら分かる最適化数学, 金谷健一 “を学習中です。共役な方向とはなんだろうという事が図形で分かったので、実際に共役勾配法をPythonで実装してみます。ちなみに、共役の読み方は”キョウエキ”ではなく”キョウヤク”ですよ。
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共役勾配法 – 共役勾配な方向って何だろう

共役勾配法のアルゴリズムは数式で展開されると何となく理解できるのですが、途中の式展開で比例関係が利用されていたりするので、なかなかイメージが出来ませんでした。でも図で描いてみると共役勾配法がどのようなアルゴリズムであるかがスッキリと分かります。
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多変数のニュートン法の収束の様子を可視化

” これなら分かる最適化数学, 金谷健一 “の ニュートン法を多変数関数に適用して極値を探してみます。1変数のニュートン法は綺麗に収束していきましたが、多変数だとどうなるでしょうか。 多変数の場合のニュートン法アルゴリズム ...
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ニュートン法はどのように収束していくのか – 1変数の場合で視覚化

機械学習の理解のため、 ”これなら分かる最適化数学, 金谷健一”を勉強中です。ここではニュートン法を勉強して、理解したことをまとめます。 ニュートン法のアルゴリズム概要 ニュートン法は勾配法に比べてとても綺麗に考えられた方法で...
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関数の数値微分 – 中心差分

勾配法やニュートン法など、最適化計算では関数の微分、偏微分が必要になってきます。実装の時に微分、偏微分を手計算してコードを書くと使う関数ごとに異なる実装が必要になりますね。これを避けるために、数値計算で微分を行うことを検討します。 ...
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