ガンマ分布と期待値、分散の導出

指数分布に従う\(\alpha\)個の確率変数の合計に関する確率変数\(X\)はガンマ分布で表すことができます。

確率密度関数、累積分布関数、期待値、分散

確率密度関数

ガンマ分布に従う確率変数は次の確率密度関数に従います。

$$
f(x | \alpha, \lambda) = \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha – 1}e^{-\lambda x} \\
0 \leq x , \quad 0 \leq \lambda, \quad 0 < \alpha
$$

\(\Gamma(\alpha)\)は積分区間\([0 , \infty]\)の完全ガンマ関数で次の式で表されます。
$$
\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty s^{\alpha-1} e^{-s} ds
$$

確率密度関数はガンマ関数を計算が必要となり、解析的には計算が難しいです。

計算してみると分かりますが、ガンマ関数を積分すると以下のように循環するような形になります。

$$
\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty s^{\alpha – 1} e^{-s} ds = (\alpha – 1)\Gamma(\alpha – 1)$$

Pythonの”scipy.stats.gamma”モジュールの”pdf”メソッドで計算が可能です。

累積分布関数

累積密度関数\(F(x)\)は確率密度関数\(f(t| \alpha , \lambda)\)を区間\([0,x]\)で積分することで求まります。

$$
\begin{eqnarray}
F(x) &=& \int_0^x f(t|\alpha, \lambda) dt \\
&=& \Gamma^{-1}(\alpha) \int_0^x \lambda^{\alpha} t^{\alpha-1} e^{-\lambda t} dt
\end{eqnarray}
$$

\( u = \lambda t\)の変数変換を行うことで、

$$
\begin{eqnarray}
F(x)
&=& \Gamma^{-1}(\alpha) \int_0^{\lambda x} \lambda^{\alpha} t^{\alpha-1} e^{-u} \frac{1}{\lambda} du \\
&=& \Gamma^{-1}(\alpha) \int_0^{\lambda x} u^{\alpha-1} e^{-u}du
\end{eqnarray}
$$

ここで、第一種不完全ガンマ関数\(\gamma(\alpha, z) = \int_0^z t^{\alpha-1} e^{-t} dt\)を用いて累積分布関数\(F(x)\)を以下のように表すことが出来ます。
$$
F(x) = \frac{\gamma(\alpha, \lambda x)}{\Gamma(\alpha)}
$$

累積分布関数も確率密度関数と同じく、ガンマ関数の計算が必要となるのため、解析的に計算することが難しいです。

累積分布関数はPythonの”scipy.stats.gamma”モジュールの”cdf”メソッドで計算が可能です。

また、累積分布関数の値があるパーセントになる単位時間の計算は、”scipy.stats.gamma”モジュールの”ppf”メソッドで計算が可能です。

期待値と分散

ガンマ関数の期待値\(E[X]\)と分散\(V[X]\)は以下の式です。

$$
\begin{eqnarray}
E[X] &=& \frac{\alpha}{\lambda} \\
V[X] &=& \frac{\alpha}{\lambda^2}
\end{eqnarray}
$$

期待値を用いた具体例

\(\alpha\)は指数分布に従う確率変数の数で、\(\lambda\)は単位時間当たりの発現回数です。

例えば年間10回噴火する活火山が5個あり、全ての火山が次に噴火するまでの平均的な日数を求めます。

  • 単位時間を1年とすると10回噴火しているので、\(\lambda = 10\)
  • 活火山の数が5つあるので、\(\alpha = 5\)

これより、

$$
E[X] = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{5}{10} = 0.5
$$
これは単位時間当たり日数なので、単位時間の1年を日数(365日)で換算します。

$$
0.5 \times 365 = 182.5 日
$$

これより、全て火山が次に噴火するまでの平均的な日数は182.5日と計算できます。

期待値と分散の導出

期待値\(E[X]\)の導出

確率変数\(X\)は実数なので、次のような積分計算を行います。

$$
\begin{eqnarray}
E[X] &=& \int_0^\infty x \cdot f(x | \alpha, \lambda ) dx \\
&=& \int_0^\infty x \cdot \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx \\
&=& \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty x^{\alpha} \left(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right)^\prime dx \\
&=& \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left[-\frac{x^{\alpha}}{\lambda e^{\lambda x}} \right]_0^\infty + \frac{ \lambda^\alpha}{ \Gamma(\alpha)}\frac{\alpha}{\lambda} \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} dx \quad \leftarrow 部分積分 \\
&=& \frac{ \lambda^\alpha}{ \Gamma(\alpha)}\frac{\alpha}{\lambda} \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} dx
\end{eqnarray}
$$

ここで、\(u = \lambda x\)の変数変換を行います。すると上式は

$$
\begin{eqnarray}
E[X] &=& \frac{\alpha}{\lambda} \frac{ \lambda^\alpha}{ \Gamma(\alpha)} \int_0^\infty \left(\frac{u}{\lambda}\right)^{\alpha-1} e^{-u} \frac{1}{\lambda} du \\
&=& \frac{\alpha}{\lambda} \frac{ \lambda^{\alpha}}{ \Gamma(\alpha)}\frac{1}{\lambda^{\alpha}} \int_0^\infty u^{\alpha-1} e^{-u} du \\
&=& \frac{\alpha}{\lambda} \frac{ 1}{\Gamma(\alpha)} \Gamma(\alpha) \\
&=& \frac{\alpha}{\lambda}
\end{eqnarray}
$$

分散\(V[X]\)の導出

分散を次の関係から求めます。

$$
V[X] = E[X^2] – E[X]^2
$$

\(E[X]\)は求められているので、\(E[X^2]\)を算出します。

$$
\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& \int_0^\infty x^2 \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha – 1}e^{-\lambda x} dx \\
&=& \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty x^{\alpha + 1}e^{-\lambda x} dx \\
&=& \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty x^{\alpha + 1} \left( -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right)^\prime dx \\
&=& \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \left\{ \left[ -\frac{x^{\alpha + 1} }{\lambda e^{\lambda x}}\right]_0^\infty- \frac{\alpha+1}{\lambda} \int_0^\infty -x^{\alpha} e^{-\lambda x} dx \right\} \quad \leftarrow 部分積分\\
&=& \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \frac{\alpha+1}{\lambda} \int_0^\infty x^{\alpha} e^{-\lambda x} dx \\
&=& \frac{\alpha+1}{\lambda} \int_0^\infty x \cdot \frac{\lambda ^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} dx \\
&=& \frac{\alpha+1}{\lambda} E[X] \\
&=& \frac{\alpha+1}{\lambda} \frac{\alpha}{\lambda} \\
&=& \frac{\alpha^2 + \alpha} {\lambda^2}
\end{eqnarray}
$$

これより
$$
V[X] = \frac{\alpha^2 + \alpha} {\lambda^2} – \frac{\alpha^2}{\lambda^2} = \frac{\alpha}{\lambda^2}
$$

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