数値計算 色々な離散データの離散時間フーリエ変換を計算してみる
色々な離散データの離散時間フーリエ変換をpythonで計算してみます。三角関数、インパルス、数列の変換と逆変換の図をたくさん載せてます。
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数値計算 Pythonで離散時間フーリエ変換を実装
離散時間フーリエ変換の計算式はシンプルです。これをPythonで実装して計算してみます。計算は複素数を使用するので、この扱い方も含めて関数化します。
環境設定 Matplotlibで離散データの表示
pythonで離散データを表現したいときにplot関数では物足りなくなります。そんな時はstem関数を使って離散データを表示しましょう。
数値計算 数値積分-台形公式とシンプソンの公式の導出
数値定積分は台形公式、シンプソンの公式で計算することが出来ます。ラグランジュの補間公式からそれぞれの式を導出してPythonで計算比較を行いました。
数値計算 ラグランジュの補間公式 – データ点から数式へ –
ラグランジュの補間公式はデータをある式に当てはめることで、近似式を作成するものです。この近似式は最小二乗法とは違い、式の形はデータの点数により自動的に決定されます。実際の計算例をもとにラグランジュの補間公式の意味を考えてみましょう。
数値計算 1階常微分方程式の数値解-オイラー法、ホイン法、ルンゲクッタ法
1階常微分方程式の解曲線を数値計算で求めてみます。解曲線とは微分方式の解\(y(x) = \phi(x)\)が表す曲線のことをいい、この曲線を勾配によって描くことで、微分方程式の解を数値計算で求めることが出来ます。オイラー法、ホイン法、ルンゲクッタ法の３つを図解しながらPythonで計算させてみます。
数値計算 バネマス系の運動をオイラー法で計算
\(dy/dx = f(x,y)\)の常微分方程式から解析的に\(y(x)\)が解ければ、どんな\(x\)における\(y(x)\)でも計算できますが、なかなかそうはいきません。運動方程式も微分方程式で表されているので、このシステムはどんな振る舞いをするの？という疑問に答えるにはやはり解析解が必要です。でもやっぱり解析解を求めることが難しいので、そんなときに役立つツールの一つが数値計算のオイラー法です。
数値計算 バネ-マス系の解析解と応答波形
バネと質点で構成されたシステムの運動方程式から、自由振動解と強制振動解を求めます。運動方程式は微分方程式なので、オイラー法やルンゲクッタ法の数値計算でもその運動を計算できます。でも、数値計算が正しいかを確認するためには運動方程式の解析解が必要ですよね？解析解の応答はPythonで計算します。
数値計算 非線形最小二乗法で円のパラメータ推定
非線形最小二乗法を使って円のパラメータを求めてみましょう。最適化計算における線形、非線形とは何なのか、円の方程式 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)のパラメータ\((a,b,r)\)を非線形最小二乗法で求めるとは何なのかといったことを考えながら進めてみます。ちなみに、収束計算はニュートン法で行いますよ。
数値計算 最小二乗法で円のパラメータ推定
円の方程式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)のパラメータ\(a,br\)をデータ\(x,y\)から最小二乗法で求めてみます。最小二乗法を使うためには、円の方程式をちょっと変更する必要があります。その式変形も含めて最小二乗法でどのようにパラメータを求めるか見てみましょう。